在一个曲面上，有相同的起点和相同的终点的两条曲线（连续曲线）уi:t→φi(t)(0≤t≤1，i=1，2)称为是同伦的，如果存在到这个曲面里的连续映射(t，u)→φ(t，u)(0≤t≤1，0≤u≤1)，使得φ(t，0)呏φ1(t)，φ(t，1)呏φ2(t)，φ(0，u)呏φ1(0)，φ(1，u)呏φ1(1)。
曲面上，固定端点的闭曲线组成的所有同伦等价类以曲线的连接，作为乘法运算，组成一个群，叫做曲面关于，这个定点的基本群。
关于不同点的基本群，是互相同构的。
基本群，只包含一个元素的曲面叫做，单连通曲面。
没有枝点的覆盖曲面，叫做光滑覆盖曲面。
设使愞，成为F的光滑覆盖曲面。
若у=()，其中的和у分别是愞和F上的曲线，则称是у的提升。
若对于任意的у嶅F和任意的以у的起点，为投影的慉∈愞，у的以慉为起点的提升总是存在的，则称愞是F的正规覆盖曲面。
光滑性保证指定，起点的提升的惟一性。
单值性定理称：若愞是F的正规覆盖曲面，则对于F上的任意两条互相同伦的曲线v1和v2以及愞中任意的以v1和v2的公共起点为投影的点慉，v1和у2的以慉为起点的提升和2总有公共的终点，并且，1和2也是同伦的（在愞上）。
复变函数论中，关于解析函数元素，沿曲线解析开拓的单值性定理，是这个定理的一个具体应用。
单连通的正规覆盖曲面，叫做万有覆盖曲面。
对于任意的一个曲面F，它的万有覆盖曲面愞总是存在，而且在共形等价的意义下是惟一的。
当F是一个黎曼曲面时，可使愞也成为一个黎曼曲面，而投影是解析映射。
著名的单值化定理称：单连通的黎曼曲面一定共形等价于╦(闭)、C（抛物型）或单位圆（双曲型）。
若愞=╦，则F=╦。
如果愞=C，则F=C，C\{0}，或是环面（环面就是亏格为1的闭曲面；反过来，环面的万有覆盖（黎曼）曲面一定是C）。
当愞是单位圆时，所有满足。
φ=的共形映射φ（叫做覆盖变换）组成一个，富克斯群。
因此，除去上面几种特例外，每一个黎曼曲面都可表示成单位圆关于一个富克斯群的商；因而，分式线性变换组成的间断群(即克莱因群，包括富克斯群)的理论和黎曼曲面理论，有紧密的联系。
若这里的F是完全解析函数w=g(z)的黎曼曲面，则G((t))和Z((t))（t∈╦，C，或单位圆）都是半纯函数，多值函数w